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2012年4月20日金曜日

球と直線から平面を求める

球x^2+y^2+z^2=1に接し、直線x-1=y-1=z/2を通る平面を求めよ。

ぎり金曜日になってしまって申し訳ありません。
次の投稿は21日土曜日になります。

※2012年4月21日23時25分に訂正が入りました。
z=x+y → x-1=y-1=z/2
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4 件のコメント:

  1. ｔｋ2012年4月21日 0:17

    私も、解答を載せていただきたいです。

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  2. Unknown2012年4月21日 11:48

    すみません。いくつか不備が見つかりましたので、もうしばらくお待ちください。

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  3. Unknown2012年4月21日 23:24

    直線の方程式を載せるはずが、平面の方程式を載せてしまっていました。大変申し訳ございませんでした。

    訂正させていただいたので、そちらでお考えいただければと思います。すみませんが、解答はもう少し時間をあけてからとさせてください。

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  4. Unknown2012年4月30日 15:08

    解答：
    平面が接する球の点をP(a,b,c)とする。
    ベクトルOP=(a,b,c)となる。

    直線の方向ベクトルは、(1,1,2)

    与えられた直線と、求める平面は平行であるので、
    直線の方向ベクトルと、ベクトルOPは直交する。

    したがって、
    (1,1,2)(a,b,c)=0
    a+b+2c=0・・・①

    また、|ベクトルOP|=1 より、
    √(a^2+b^2+c^2)=1
    a^2+b^2+c^2=1・・・②

    これらを用いて、平面の方程式を出すと、
    ax+by+cz=a^2+b^2+c^2
    ①より、
    ax+by+cz=1・・・③

    ここで、平面上の点を考えてみる。
    直線は平面を通るので、直線上のすべての座標は平面上の座標にもなる。

    したがって点Ｑ(1,1,0)や、点Ｒ(2,2,2)は平面上の点である。

    これらを③の式に代入して、a,b,cをもとめます。
    点Ｑを代入して、
    a+b=1・・・④
    点Ｐを代入して、
    2a+2b+2c=1・・・⑤
    2a+2b=2・・・④'　より、⑤に代入すると、
    2+2c=1
    c=-1/2・・・⑥
    ④と⑥を②に代入して、aだけの式にすると、
    a^2+(1-a)^2+1/4=1
    2a^2-2a+1/4=0　となるので、解の公式を用いると、
    a=(2±√2)/4 となり、これを④に代入してb=(2±√2)/4 (aとbの√2の正負が逆)

    したがって、
    (2±√2)/4×x+(2±√2)/4×y-1/2×z=1

    (2+√2)x+(2-√2)y-2z=4　と
    (2-√2)x+(2+√2)y-2z=4　の二つが答えです。

    頭の中で空間的に球の接点と直線でできる平面は正反対にもできることは予想できると思います。


    もしかしたらややこしい解き方なのかもしれません。
    アドバイス等、いつでも受け付けます。

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